§ 2. Понятие о структуре

Вернемся к примеру с падением яблока. Для того чтобы вывести как следствие это событие из физических законов, физика создала множество идеализированных структур, которые представляют этот процесс в физической теории. Например, вводится система координат XYZ, которая позволяет описать пространство, где находится яблоко. Само яблоко представляется в виде материальной точки Я(x,y,z) с координатами x, y и z и массой m. Предполагается, что на эту точку действует сила, которая может быть изображена в форме вектора F. Падение описывается как движение точки Я(x,y,z) по некоторой траектории Г в пространстве. Мы встречаемся здесь с множеством новых терминов: «система координат», «материальная точка», «масса», «сила», «вектор», «траектория». Все это примеры разного рода научных абстракций, которые обычно не существуют в чувственно наблюдаемой реальности и принадлежат некоторой «виртуальной реальности» научного познания. Мы еще вернемся к проблеме научных абстракций, пока же можно заметить, что все такого рода абстракции представляют из себя те или иные составляющие математических структур.

Во второй половине 20 века в Европе под псевдонимом Никола Бурбаки работала инкогнито группа крупных математиков, которая поставила перед собой и практически выполнила задачу создания универсального издания, в котором были бы представлены с единой точки зрения все основные разделы современной математики. В основу своего проекта эта группа положила понятие «структуры». С этой точки зрения математика – это наука о разного рода структурах. Поскольку математический язык – основа современной науки, то понятие «структура» оказывается важнейшим понятием для всего научного познания. Итак, что же такое структура ?

В простейшем случае под математической структурой, или просто структурой, имеется в виду единство трех основных составляющих. Это:

1. Множество элементов структуры.

2. Множество операций (функций), заданных на элементах структуры.

3. Множество свойств и отношений (предикатов), также заданных на элементах структуры.

Составляющую 1 можно называть экстенсионалом структуры (более количественным моментом ее определения), составляющие 2 и 3 – интенсионалом структуры (более качественным моментом ее определения).

Рассмотрим некоторые примеры структур.

Структура на множестве натуральных чисел. Рассмотрим структуру N, в качестве экстенсионала которой выступает множество чисел, используемых для счета,  1, 2, 3, 4, … и т.д. до бесконечности, которые в математике называются «натуральными числами». В качестве операций здесь можно рассмотреть, например, обычные операции сложения + и умножения × натуральных чисел. Далее можно рассмотреть такое свойство натуральных чисел, как «быть четным» (Е – от англ. «even», четный); в качестве отношений рассмотреть два отношения – обычные отношение равенства = и отношение «меньше» <.

Отличие операций от свойств и отношений состоит в том, что операции определяются на элементах структуры и дают в результате также элементы структуры, например, операция сложения + определяется на двух числах, что записывается в виде +(m,n), означая m+n, и дает в результате новое число – сумму первых двух. Таким образом: +(m,n) = m+n, например, +(3,4) = 3+4 = 7.

Что же касается свойств и отношений, то они только определяются на элементах структуры, а вот результатом их действия являются либо истина (И), либо ложь (Л). Если, например, свойство Е, «быть четным», истинно на 2, то это можно записать в виде: Е(2) = И – свойство «быть четным» истинно для числа 2. Аналогично Е(3) = Л - свойство «быть четным» ложно для числа 3.

Свойства отличаются от отношений тем, что свойства всегда определяются для любого одного элемента структуры, в то время как отношения – для любых n элементов, где n больше единицы. Например, отношение «меньше» для элементов 2 и 3 может быть записано в виде: <(2,3) = И – это значит, что отношение «меньше» истинно для пары чисел 2 и 3, т.е. число 2 меньше числа 3. Как уже отмечалось выше, свойства или отношения называются предикатами.

Иерархическая структура. Например, в медицине иерархия представлена отношением болезней (нозологических единиц), их синдромов и симптомов. Здесь можно ввести отношение «Х < Y» - «Х есть проявление Y (отличное от Y)», понимая под проявлением болезни как ее синдромы, так и симптомы. Тогда, например, если Z – некоторое заболевание (допустим, астма), Y – один из синдромов этой болезни (для астмы это мог бы быть, например, обструктивный синдром), Х – один из симптомов Y (например, цианоз как один из симптомов обструктивного синдрома), то можно утверждать, что «Y < Z» - «синдром Y есть проявление заболевания Z» и «X < Y» - «симптом Х есть проявление синдрома Y». Отсюда будет следовать, что «Х < Z» - «симптом Х есть проявление болезни Z» (в нашем примере цианоз есть одно из проявлений астмы). Возможность перехода от отношений «Х < Y» и «Y < Z» к отношению «Х < Z» называется свойством транзитивности. Это одно из специфических свойств, характерных для отношения порядка. Структуры, в которых встречается отношение порядка «<», подобное числовому отношению «меньше» на числах, называются иерархическими структурами. Классификация болезней, включающая в себя иерархию синдромов и симптомов для каждой нозологической единицы, представляет из себя один из типичных примеров иерархических структур.

В общем случае в науке используются самые разные структуры. Чем более развито научное знание, тем богаче его структурное оснащение, тем специализированнее язык, описывающий эти структуры.